Téma ismertetése

  • Általános

  • Matlab Alapok, Numerikus hibák, Bevezetés

    "Go down deep enough into anything and you will find mathematics..."

    Az első laborgyakorlat célja, az eddig tanult Matlab fogalmak átismétlése (plot utasítások, Grafikus felhasználói felület készítése, szimuláció készítés). Ugyanakkor megismerkedünk a Numerikus módszerek alapjaival.

  • Iterációk, Fixpontok

    Ebben a részben célunk az iterációk tanulmányozása valamint a fix pontok fontosságának bemutatása. Más néven ciklus, vagy ismétlési szerkezet. Valamilyen feltételtől függően ismétlünk meg egy tevékenységet, vagy tevékenységsorozatot.

     

  • Taylor és Fourier sorok

    Adott a következő ábra, amely egy adott függvény Taylor sorát jeleníti meg, egyre jobban:

  • Newton Módszer, Nemlineáris egyenletek

    Megismerkedünk a nemlineáris egyenletek elméletével, azaz a nemlineáris egyenletek gyökeinek tanulmányozásával. 

    
    

     

  • Newton-Raphson módszer egyenletrenszerek esetén

    A labor főcélja nem-lineáris egyenletrenszerek megoldása, azaz implementáljunk egy módszert amely az alábbi rendszert oldja meg:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} f_1(x_1,x_2,...,x_n)=0\\ f_2(x_1,x_2,...,x_n)=0\\ ...\\ f_n(x_1,x_2,...,x_n)=0\\ \end{array}\right. \]

    Az lagoritmus ami a fenti rendszer megoldására hivatott, úgy nevezzük, hogy Newton-Raphson. 

    1. Feladat határozzuk meg egy \[f:{\mathbb  R}^{n}\rightarrow {\mathbb  R}^{n}\] függvény Jacobi mátrixát egy adott pontban, azaz közelítsük az alábbi mátrixot:

    $$J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$$

    Ezekben az esetekben a parciális deriváltakat a következő dologgal érdemes helyettesíteni:

    \[\frac{\partial f_{i}(x)}{\partial x_{j}}\approx\frac{f_{i}(x+e_{j}h)-f_{i}(x)}{h},\] ahol \[e_{j}=(0,...,0,1,0,..0).\]

    Példa: Legyen  a  képlettel megadott háromváltozós függvény.

    Akkor

    és így a függvény Jacobi-mátrixa

    2. Feladat Implementáljuk a Newton-Raphson módszert.

  • Gauss Elimináció, Egyenletrendszerek megoldása

    Legyen adott a következő lineáris egyenletrendszer:

    \( \left\{ \begin{array}{ll} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0\\ \end{array}\right. \)

    Az egyenletrendszert felfoghatjuk mint a következő mátrix egyenlet \( A\cdot x=b \) ahol \( \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array}\right]. \) valamint \( x=\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right), \ b=\left(\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right) \)

    Megjegyzés: Ismeretes, hogy azon (x,y, z) pontok amelyekre teljesül az \( S:\alpha x+\beta y+\gamma z+ \zeta=0 \) összefüggés, azok a háromdimenziós térben egy sík egyenletét határozzák meg. Így egy három ismeretlenes három egyenletből álló egyenletrendszer megoldása grafikus szemszögből, azt jelenti, hogy a három síknak van-e közös metszéspontja. Lásd az alábbi ábrát.

    Természetesen nem csak ezzel a módszerrel tudjuk megoldani az egyenletrendszereket, ezért ebben a fejezetben erre a kérdésre keressük a választ.

  • Egyenletrendszerek megoldása-Javított módszerek

    Ebben a részben megismerkedünk lineáris egyenletrendszerek további megoldásával. Pontosabban javítani fogjuk a Gauss eliminációt azokban az esetekben amikor a mátrixunk sajátos tulajdonsággal rendelkezik.

    Tekintsük ismét az 

    \( \left\{ \begin{array}{ll} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0\\ \end{array}\right. \)

    A feladatot mátrix dekompozíciók segítségével fogjuk tárgyalni. Így eljutunk az LU, Cholesky felbontásokhoz, valamint javítani fogjuk az eredeti naiv Gauss elminiációs algoritmusunkat (főelem kiválasztásos Gauss elimináció, majd főelem kiválasztásos LU felbontás). 

    Például a Cholesky felbontás esetén az \(A=L\cdot L^T\) felbontást szeretnénk meghatározni. Egy \(3\times 3\) esetben a következőt jelenti: 

    \[
    A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
    a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}l_{11} & 0 & 0\\
    l_{21} & l_{22} & 0\\
    l_{31} & l_{32} & l_{33}
    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}l_{11} & l_{21} & l_{31}\\
    0 & l_{22} & l_{32}\\
    0 & 0 & l_{33}
    \end{bmatrix}
    \]

    • Megvizsgáljuk a Matlab hogyan old meg egyenletrendszereket saját ill. beépített függvényekkel;
    • Ugyanakkor más programozási környezetben megírt(C++) kódok is bemutatásra kerülnek;

    A laborgyakorlat során a MATLAB programozási nyelvet is ismételni fogjuk (lásd a csatolt programokat): függvények megírása, ciklusok, feltételeket ellenőrző utasítások, ábrázolás.

  • Függvények Interpolációja

    1. https://hu.wikipedia.org/wiki/Interpol%C3%A1ci%C3%B3

  • Differenciálegyenletek

    1. http://www.math.purdue.edu/~shen/cs614/projects/ode45.pdf

  • Ez a téma

    Differenciálegyenletek Numerikus Megoldása

    Ebben a részben a differenciálegyenletek megoldását tanulmányozzuk numerikus módszerekkel.

    1. Első sorban különböző hétköznapi feladatokkal ismerkedünk meg, valamint megvizsgáljuk az első numerikus módszerünket, az ún. Euler módszert.

    2. MATLAB programozási nyelvben leggyakrabban az ode45 függvény segítségével oldhatunk meg differenciálegyenleteket.

  • Jegyek

    Az alábbi táblázatban találhatóak a jegyek.

    A pótvizsgán holnap 14-16 között illetve 16-18 között lehet részt venni valamint kedden 8-10 óra között.

    Jó tanulást,

    Csaba

  • Jegyek 2

    Elnézést a késés miatt (el voltam utazva illetve egy megfázás hátráltatta a javítást). Lehet ismételni kedden reggel 9 től illetve 11től.

    Javítani is lehetséges.

    Üdv.,

    Csaba