Téma ismertetése

  • Általános

  • Bevezetés Lotka Volterra Modell

    [t,y] = ode45(odefun,tspan,y0), where tspan = [t0 tf], integrates the system of differential equations y'=f(t,y) from t0 to tf with initial conditions y0. Each row in the solution array y corresponds to a value returned in column vector t.

  • Jacobi mátrix meghatározása

    Feladat határozzuk meg egy $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ függvény Jacobi mátrixát egy adott pontban, azaz közelítsük az alábbi mátrixot:

    $$J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$$

    Példa: Legyen a  képlettel megadott háromváltozós függvény.

    Akkor

    és így a függvény Jacobi-mátrixa


  • Dormand Prince algoritmus

    1. Angol olvasnivalo http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/DormandPrince_19856.pdf

    2. A Dormand-Prince módszer egy adaptív Runge-Kutta eljárás, ami azt jelenti, hogy minden lépésben kiszámítja a becsült helyi kerekítési hibát. Ennek megvaló- sítására két módszert alkalmaz egy lépésben, egy 4-ed és egy 5-öd rendű RungeKuttát. A módszer fontos tulajdonsága, hogy váltakozó lépésközű, mindig úgy választja meg a lépésközt, hogy a hiba a negyedrendű módszer hibája legyen.

    𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑏1𝑘1 + 𝑏3𝑘3 + 𝑏4𝑘4 + 𝑏5𝑘5 + 𝑏6𝑘6,

    ahol 𝑘1 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + 𝑐1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑎11),

    𝑘2 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + 𝑐2ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑎21𝑘1),

    𝑘3 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + 𝑐3ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑎31𝑘1 + 𝑎32𝑘2),

    𝑘4 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + 𝑐4ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑎41𝑘1 + 𝑎42𝑘2 + 𝑎43𝑘3),

    𝑘5 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + 𝑐5ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑎51𝑘1 + 𝑎52𝑘2 + 𝑎53𝑘3 + 𝑎54𝑘4),

    𝑘6 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + 𝑐6ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑎61𝑘1 + 𝑎62𝑘2 + 𝑎63𝑘3 + 𝑎64𝑘4 + 𝑎65𝑘5),

    𝑘7 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + 𝑐7ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑎71𝑘1 + 𝑎73𝑘3 + 𝑎74𝑘4 + 𝑎75𝑘5 + 𝑎76𝑘6)

    Ez volt a negyedrendű Runge-Kutta, amellyel kiszámítottuk a következő lépést. Ezután egy ötödrendű Runge-Kutta alkalmazásával kiszámítjuk a hibát. 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝑒1𝑘1 + 𝑒3𝑘3 + 𝑒4𝑘4 + 𝑒5𝑘5 + 𝑒6𝑘6 + 𝑒7𝑘7| (3.12) Miután megkaptuk ebben a lépésben a hiba nagyságát, ennek segítségével kiszá- mítjuk az optimális lépés hosszát

    𝑠 = (︂ 𝜖ℎ 2|𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| )︂ 1 5 , ℎ𝑜𝑝𝑡 = 𝑠ℎ, ahol h az előző lépés hosszát, 𝜖 pedig a toleranciát jelöli (a szoftverben konstans 𝜖 = 0.000001). A fenti egyenletekben használt együtthatókat (a𝑖𝑗 , b𝑖 , c𝑖 , e𝑖) egy táblában szokták tárolni, melynek neve „Butcher tábla”

  • Ideológiai küzdelmek Verhulst-Lotka-Volterra modellje

  • Téma 5

    • Téma 6

      • Téma 7

        • Téma 8

          • Téma 9

            • Téma 10